Wiskunde en sterrenkunde - deel 1 Het begin bij de Oude Grieken
Wiskunde en astronomie een harmonisch partnerschap
Is astronomie mogelijk zonder wiskunde? Is het mogelijk om de geheimen van de sterrenhemel te ontcijferen zonder een beroep te doen op wiskunde? Een belangrijke vraag, een vraag die enkelen misschien ook zal afschrikken. Moet men nu echt noties van wiskunde hebben om naar de sterren te kijken?
Gelukkig niet, en onze volkssterrenwacht, net als de andere volkssterrenwachten trouwens, zijn er het duidelijk bewijs van. Toch kan men er niet naast kijken: van oudsher was er tussen beide disciplines steeds een nauwe band. Doorheen de geschiedenis, hoe ver men ook naar het verleden terugkijkt, valt duidelijk op hoe de evolutie van de wiskunde en de astronomie vaak een parallelle ontwikkeling kenden.
Als voorbeeld wil ik hier het belangrijk begrip 'oneindig' aanhalen. Hoe moet men met dit intrigerend begrip omgaan in de astronomie? Hoe moet men er in de wiskunde mee omgaan? Wij voelen ons nog altijd onzeker wanneer men het over 'oneindig' heeft. En dit was reeds zo in de Oudheid. Ook voor de Grieken was 'oneindig' een groot probleem.
Griekse astronomen hadden geen pasklaar antwoord op de vraag wat er zich aan de hemel achter de sfeer van de vaste waarneembare sterren bevond. Wat ziet men als men nog verder gaat kijken? Is ons universum begrensd of niet?
En niet alleen in de astronomie, maar ook in de wiskunde dook hetzelfde probleem 'oneindig' op. Zo was één van de vroege 'wiskundige' kopzorgen van de Grieken de hiernavolgende reeks getallen:
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1
De som van deze reeks getallen is ondubbelzinnig gelijk aan 0. Maar dit blijkt niet meer zo eenvoudig te zijn als men de reeks getallen steeds maar wil doorzetten. Al naargelang de manier van optellen bekomt men dan een verschillend resultaat, ofwel 1 ofwel 0.
(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + …. = 0
1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - …. = 1
Zo ontdekten de Oude Grieken voor het eerst dat rekenregels die gelden voor eindige reeksen niet zomaar toepasselijk zijn op reeksen die oneindig worden doorgetrokken.
Was er dan een verband tussen astronomie en wiskunde?
'Oneindig' zou nog vele eeuwen een raadsel blijven. In de wiskunde zou dit raadsel pas een antwoord krijgen in de 18de eeuw met de ontdekking door Newton en Leibniz van de infinitesimaalanalyse. In de astronomie zou de oplossing pas in de 20ste eeuw komen met Einsteins relativiteitstheorie.
Meer dan 20 eeuwen later, gaan mathematici en astronomen nog steeds broederlijk naast elkaar door het leven! Naarmate moderne astronomie geconfronteerd wordt met fenomenen die minder en minder toegankelijk zijn voor rechtstreekse waarnemingen is de wiskunde voor astronomen zelfs belangrijker dan ooit geworden. Hoe zou men zonder wiskunde het bestaan van een quark, een zwart gat of de snaartheorie kunnen begrijpen?
Elk een eigen methodologie
Maar al staan beide disciplines meer dan ooit broederlijk naast elkaar, toch hebben ze elk hun eigen methodologie. Wiskunde vertrekt steeds van postulaten. Het zijn beweringen die men zonder bewijs aanneemt en waarop men dan logisch verder bouwt. Denk bijvoorbeeld aan de postulaten die de basis vormen van de euclidische meetkunde. Vertrekkend van die enkele postulaten zal men door logisch te redeneren een volledige meetkunde afleiden. Stellingen in de wiskunde zijn dus steeds waar en zullen het altijd blijven.
De astronomie van haar kant heeft een andere invalshoek. In een eerste fase verzamelt de astronoom gegevens door observatie. Zo bestudeert hij de banen van planeten, de beweging van sterren en sterrenstelsels of het gedrag van sterlicht dat ons bereikt. Maar in een volgende fase wil de astronoom die vele gegevens begrijpen. Zit in de verzamelde gegevens een orde, een wetmatigheid? Hiervoor zal hij dan een beroep moeten doen op een wiskundige theorie.
Astronomische waarnemingen worden in de loop van de tijd steeds maar vollediger en nauwkeuriger. In die zin verplicht de astronomie de wiskundigen ook om verder na te denken en nieuwe paden te bewandelen die beter passen bij de realiteit. Het heliocentrisme, de universele zwaartekracht van Newton, de verklaring van de baan van Mercurius, de relativiteitstheorie en de kwantumtheorie zijn er sprekende voorbeelden van.
Om die nauwe band tussen astronomie en wiskunde te illustreren zal ik in deze artikelen een korte reis maken door de geschiedenis en trachten aan te tonen dat in de ontwikkeling van de astronomie de wiskunde nooit ver weg stond. Ik zal de rol toelichten van enkele belangrijke personages die door hun baanbrekend werk wetenschappelijke bakens hebben verzet.
1. Het begin : de allereerste wereldbeelden bij de Grieken.
Drie personen hebben een belangrijke rol gespeeld bij het tot stand komen van de eerste wereldbeelden. Het zijn Thales, Pythagoras en Aristarchos. Zij behoorden ook tot de eersten die voor hun werk een beroep deden op de wetenschap.
1.1. Thales van Milete (647? - 547? vC) wordt algemeen beschouwd als de grondlegger van de westerse wiskunde en astronomie. Zelf heeft hij ons geen werken nagelaten. Wat wij over hem weten komt uit geschriften van anderen. Uit allerlei bronnen weten wij wel dat hij veel reisde en regelmatig in Egypte en in Babylonië verbleef. Het is ook iemand die een grote invloed heeft gehad op Pythagoras, die ons een eerste volledige visie over het heelal zou geven.
Thales heeft enkele eenvoudige meetkundige stellingen ontdekt over bissectrices, gelijkbenige driehoeken en over driehoeken. Vooral bekend van hem is een stelling die nu nog gekend staat als de 'Stelling van Thales'. Daarin bewijst hij dat wanneer twee lijnen gesneden worden door evenwijdige lijnen de gevormde lijnstukken op die twee lijnen verdeeld worden in evenredige stukken. In het voorbeeld hiernaast zal is dus: AB/BC = A'B'/B'C'
Copyright: GNU Free Documentation License via Wikipedia
Met zijn kennis over de meetkunde ontdekte Thales tijdens een reis naar Egypte ook een originele manier om de hoogte van een piramide te berekenen. Hij mat de lengte van de schaduw van een stok A, die hij rechtop in de grond had geplaatst en vergeleek die met de schaduw die de piramide afwierp. Aangezien de verhouding van de lengte van deze twee schaduwen gelijk moet zijn aan de verhouding van de lengte van de stok en de hoogte van de piramide kon hij de hoogte van de piramide bepalen.
Copyright: GNU Free Documentation License via Wikipedia
Dit eenvoudige principe was voor Thales’ tijdgenoten een belangrijke doorbraak. Denk eraan dat er toen weinig of geen goniometrische instrumenten bestonden.
Volgens de schrijver Herodotos zou Thales, met gegevens die afkomstig waren van Babyloniërs, ook voorspeld hebben dat er in 585 vóór Christus een zonne-eclips zou plaats vinden. Of dit historisch is weet men niet.
1.2. Pythagoras (580 - 500? vC), een leerling van Thales, is zonder twijfel een van de bekendste geleerden uit de Oudheid. Pythagoras was afkomstig van het Griekse eiland Samos. Men weet ook dat hij omstreeks 520 vóór Christus naar Croton in Zuid-Italië verhuisde en daar zijn beroemde filosofische school stichtte. Zijn volgelingen werden de Pythagoreërs of de 'Mathematikoi' genoemd.
Pythagoras, en ook zijn volgelingen, waren ervan overtuigd dat het diepste wezen van de astronomie enkel met wiskunde te benaderen was. Volgens Pythagoras was het onmogelijk om zonder wiskunde te begrijpen hoe de wereld in elkaar zat. Getallen en hun onderlinge verhoudingen waren de sleutel om het harmonisch samengaan van hemellichamen te doorgronden.
Niet te verwonderen dat in de school van Pythagoras de studie van de getallen en hun onderlinge verhoudingen zeer belangrijk was. Aan Pythagoras danken wij tal van begrippen die wij vandaag nog gebruiken.
Zo spreken wij vandaag nog over:
- perfecte getallen: dit zijn getallen die gelijk zijn aan de som van hun echte delers. Zo is 6 een perfect getal omdat 6 deelbaar is door 1, 2 en 3 en 6 ook gelijk is aan 1+2+3. Ook 28, 496 , 8128 , 33.550.336 zijn perfecte getallen;
- bevriende getallen: dit zijn twee getallen waarvan, voor elk getal, de som van de echte delers van het ene getal gelijk is aan het andere getal. Zij wisten dat 220 en 284 bevriende getallen waren omdat de som van de delers van 220 (= 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110) gelijk is 284, en de som van de delers van 284 (= 1 + 2 + 4 + 71 + 142 ) gelijk is aan 220. Andere bevriende getallen zijn nog (1184, 1210), (2620, 2924) (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084).
- ook 153 was een geliefd getal omdat het kon geschreven worden als
153 = 1 + (1 x 2) + (1 x 2 x 3) + (1 x 2 x 3 x 4) + (1 x 2 x 3 x 4 x 5) = 13 + 53 + 33.
Pythagoras is vooral bekend voor zijn stelling over rechthoekige driehoeken. Velen zullen zich wellicht nog herinneren dat in een rechthoekige driehoek de som van het kwadraten van de 2 rechthoekszijden (a en b) gelijk is aan het kwadraat van de schuine zijde c. Deze stelling is ook voor de astronomie van belang geweest, onder andere als hulpmiddel bij de berekening van afstanden tot planeten.
Maar deze stelling zou de Pythagoreërs grote kopzorgen baren. Geleidelijk drong tot hen door dat er met hun rechthoekige driehoek iets niet klopte. Immers wanneer zij in een rechthoekige driehoek de twee rechthoekszijden a en b gelijk stelden aan 1, dan lukte het hen niet om de lengte van de schuine zijde c als een 'normaal' getal uit te drukken. Men werd voor het eerst geconfronteerd met een nieuw soort getallen, √ 2. Men vond deze getallen zo abnormaal dat men ze 'irrationale getallen' noemde. Pythagoras had ontdekt dat er ontelbaar meer getallen bestaan dan men toen kende. Hier ook kwam het begrip 'oneindig' de kop opsteken.
Naar het schijnt zouden de leerlingen van Pythagoras, na deze ontdekking, zo onthutst geweest zijn dat ze beslisten om dit aan niemand verder te vertellen. Sommigen zouden zelfs zelfmoord hebben gepleegd omdat ze zich niet hadden gehouden aan hun belofte om te zwijgen.
Maar Pythagoras ontdekte ook dat eenvoudige verhoudingen tussen getallen een bron van harmonie zijn in de muziek. Wanneer men de snaar van een viool aanstrijkt over de volledige lengte en daarna over de helft ervan, dan hoort men twee verschillende tonen die harmonisch samen klinken. Dergelijke tonen verschillen juist één octaaf. Men bekomt in de muziek ook andere consonante tonen telkens de lengteverhoudingen van snaren eenvoudige waarden hebben zoals bijvoorbeeld 2/3 of 3/4. Dit alles getuigt dat verhoudingen van getallen de bron zijn van een esthetisch gevoel; ze belichamen een zekere volmaaktheid.
Deze ontdekking van Pythagoras heeft een belangrijke rol gespeeld in de uitwerking van zijn eigen wereldbeeld. Hij ging ervan uit dat het heelal volmaakt moest zijn. De goden konden toch niet een onvolmaakte wereld hebben gemaakt? Die volmaaktheid moest men kunnen terugvinden in de wiskundige structuur ervan.
Het is in die geest dat men het heelal van Pythagoras moet plaatsen. Het kan in drie punten samengevat worden:
- Alle hemellichamen, ook de Aarde, bewegen op cirkelvormige banen rond een centraal vuur. Een cirkel was immers een volmaakte meetkundige figuur bij uitstek. Alle punten van de omtrek waren even ver verwijderd van het middelpunt en aan een cirkelomtrek was er ook geen begin of einde. Men zou die cirkelvormige bewegingen van de planeten nog aanhouden tot in de 17de eeuw toen Kepler er ellipsvormige banen van zou maken. Het centraal vuur kan men volgens Pythagoras niet zien omdat wij ons aan de andere kant van de bolvormige Aarde bevinden.
- De stralen van de banen van de verschillende planeten verhouden zich onderling op dezelfde manier als de consonante tonen bij muziekinstrumenten. Door hun beweging in deze banen brengen de hemellichamen als het ware een 'hemelse symfonie' voor.
- Omdat tien een perfect getal was, moest het heelal ook uit tien hemellichamen bestaan. Men kende toen vijf planeten (Mercurius, Venus, Mars, Jupiter en Saturnus). Samen met de Zon, de Maan, de Aarde en het centrale vuur kwam men slechts op het getal negen uit. Dan moest er volgens Pythagoras, recht tegenover de Aarde, ook nog een 'tegen-Aarde' of een 'antichthon' rond het centrale vuur cirkelen. Zo bekwam hij zijn getal 10. De Aarde en die tegen-Aarde cirkelden in de kleinste baan; daarna kwam de Maan, vervolgens de Zon, en nog verder de planeten.
1.3 - Aristarchos van Samos (310 - 230? vC) was een derde belangrijke figuur. Ook hij was in zijn tijd een zeer gewaardeerd astronoom en wiskundige. Er is een maankrater naar hem vernoemd, maar toch is hij vandaag, ten onrechte, niet zo gekend als vele andere Griekse astronomen uit de Oudheid.
Aristarchos was de eerste die het geocentrisme in vraag stelde. Hij was ervan overtuigd dat de Aarde rond de Zon draaide en niet omgekeerd. Toch niet zo evident in die tijd. Volgens Kleanthes, een Grieks filosoof, werd Aristarchos voor zijn heliocentrische visie door de Grieken van goddeloosheid beschuldigd. Vele eeuwen later zou iets gelijkaardigs gebeuren met … een zekere Galilei.
Aristarchos heeft ons een boek nagelaten: “Over de grootte van en de afstanden tot de Zon en de Maan”. In dit boek legt hij zijn geometrische visie op de sterrenkunde uit. Hij trachtte uit de schijngestalten van de Maan en het optreden van Zons- en Maansverduisteringen meer te weten te komen over de relatieve afstanden tot die hemellichamen. Uit zijn berekeningen had Aristarchos afgeleid dat de hoek die gevormd wordt door de halve Maan, de Aarde en de Zon 87° bedroegen, daaruit kwam hij tot het besluit dat de Zon 19 keer verder weg stond dan de Maan.
Copyright: GNU Free Documentation License via Wikipedia
Nu weet men dat die hoek niet 87° maar in werkelijkheid 89°51' bedraagt, wat betekent dat de Zon 400 keer verder weg staat dan de Maan.
1.4. - Eratosthenes (276 - 194 vC) was de wetenschapper die de omtrek van de Aarde wist te meten. Hij werd geboren in Cyrene, een belangrijke stad in het uiterste noorden van Libië die toen deel uitmaakte van Griekenland. Zijn aanzien was zo groot dat farao Ptolemaeus III hem naar Alexandrië haalde waar hij 40 jaar lang hoofdbibliothecaris van de beroemde bibliotheek was. Hij werd er een zeer bekend en veelzijdig geleerde. In het jaar 196 werd hij blind en één jaar later maakte hij een eind aan zijn leven door alle voedsel te weigeren.
Eratosthenes stond bekend als een zeer moeilijk en arrogant iemand. Hij had de gewoonte om zichzelf als de op één na beste wetenschapper van zijn tijd te beschouwen en om dit duidelijk te laten blijken voegde hij dikwijls de letter β, de tweede letter van het Griekse alfabet, toe aan zijn naam.
Als wiskundige vond Eratosthenes onder andere een eenvoudig algoritme om priemgetallen te vinden. Dit algoritme, dat nu nog gekend staat als de zeef van Eratosthenes, gaat als volgt te werk. Wil men bijvoorbeeld alle priemgetallen tot 100 bepalen, moet men al die getallen gewoon opschrijven. Vervolgens moet men in die tabel opeenvolgend:
- alle veelvouden van 2 schrappen;
- daarna alle veelvouden van het eerste getal dat nu nog niet geschrapt is, zo worden nu alle veelvouden van 3 geschrapt;
- het eerstvolgend niet geschrapte getal is 5, nu dienen alle veelvouden van 5 op hun beurt geschrapt ter worden.
Door deze methode voldoende lang toe te passen bekomen wij de priemgetallen.
Eratostenes is echter vooral bekend geworden door zijn werk op het gebied van de astronomie. Zo heeft hij, onder andere, de helling van de aardas t.o.v. het baanvlak bepaald op 23° 51' 15". Hij heeft ons ook een sterrencatalogus nagelaten waarin 675 sterren zijn opgenomen.
Copyright: Todd K. Timberlake via Wikipedia
Zijn opmerkelijkste prestatie blijft zonder twijfel de ingenieuze manier waarop hij, rond het jaar 235 vóór Christus, de omtrek van de Aarde heeft berekend. Eratothenes had in Syene, het huidige Aswan, opgemerkt dat op het middaguur de bodem van een put op de dag van het lentepunt volledig verlicht werd door de Zon. Op haar hoogste punt in Syene stond de Zon pal boven de put en wierp die dag dus geen schaduw af. Eratosthenes stelde ook vast dat dit niet het geval was in Alexandrië. Daar wierp de Zon op 21 juni wel een schaduw af met een invalshoek α van 7°14'. Erathosthenes besefte dat hij op grond van enkele eenvoudige geometrische beschouwingen uit de waarde van deze hoek de omtrek van de Aarde kon berekenen. De hoek die hij gemeten had overspande immers de boog van het aardoppervlak tussen Syene en Alexandrië. Om de volledige omtrek van de Aarde te bekomen moest hij gewoon de afstand tussen die twee steden bepalen en die afstand vervolgens vermenigvuldigen met 50.
Eratosthenes schatte de afstand van Syene naar Alexandrië op 5.000 stadiën en de omtrek van de Aarde dus op 250.000 stadiën. Het was in die tijd wel niet zo evident om de afstand van Syene tot Alexandrië te meten. Eratosthenes zou eerst geprobeerd hebben deze afstand af te leggen met kamelen en hun aantal stappen te tellen. Naar het schijnt zou hij het ook geprobeerd hebben met speciaal daartoe getrainde soldaten, de bematisten. Deze soldaten waren getraind om steeds met gelijke passen te marcheren.
Men vermoedt dat de berekening van Eratosthenes in onze eenheden uitgedrukt ongeveer 46.000 km zou geven, wat 15% groter is dan de werkelijke waarde van de aardomtrek. Toch een opmerkelijke prestatie in die tijd!
1.5. - Apollonius van Perga (262 - 190 vC) is een onterecht ondergewaardeerd figuur in deze context. Als men het over astronomie in de Oudheid heeft, kan men zeker niet voorbijgaan aan hem. De nieuwe wiskundige visie die hij ontwikkelde heeft op de astronomie een belangrijke stempel nagelaten, en dit niet alleen in zijn tijd maar ook lang daarna.
Apollonius werd geboren in Perga, een stad in het toenmalige Griekse gebied Pamphylia die bij Antalya in het Zuiden van het huidige Turkije ligt. Als jonge man ging hij naar Alexandrië om te studeren bij de volgelingen van Euclides. Later zou hij er ook zelf les geven.
Zijn werk heeft Apollonius neergepend in acht boeken, de Konica. Hij ontwikkelde daarin een nieuwe theorie over kegelsneden en de vier meetkundige figuren die kunnen ontstaan wanneer een vlak deze kegel snijdt. Al naargelang de hoek die het snijvlak maakt met de as van de kegel, bekomt men een cirkel, een ellips, een parabool of een hyperbool, benamingen die wij nu nog gebruiken. De analytische benadering van deze meetkundige figuren gebeurt vandaag nog op dezelfde manier.
Met zijn werk heeft hij ongetwijfeld het pad geëffend voor de nieuwe wereldvisie die Ptolemaeus ons kort daarna zou geven. En niet alleen Ptolemaeus, maar onder andere ook Kepler, Descartes en Newton zullen later nog ten volle gebruik maken van Apollonius' werk. Zijn werk werd ten andere door toedoen van Edmund Halley.nog heruitgegeven in 1710.
Tekst: Emile Beyens, september 2020