Einsteins algemene relativiteitstheorie echt zo moeilijk?


Wellicht is geen naam zo bekend als die van Albert Einstein (1879-1955). Velen onder ons kennen hem als een enigmatische en excentrieke persoon, als de vader van de aartsmoeilijke relativiteitstheorie die iedereen afschrikt. Door Time Magazine werd hij uitgeroepen tot persoonlijkheid van de 20ste eeuw, en die titel valt niet zomaar uit de lucht.

 

Klik op deze link voor de bijhorende afbeelding te bekijken.

 

Helaas werd en wordt er zoveel over Einstein gesproken en geschreven dat zijn naam stilaan een lege doos zonder inhoud is geworden.

De impact van Einsteins werk is zo groot dat het mij niet meer dan logisch lijkt om er even bij stil te staan en ons af te vragen wat hij vandaag nog betekent voor de wetenschap en voor de wereld. Is het mogelijk zijn bijzonderste werk, de algemene relativiteitstheorie, toe te lichten, de theorie waarin hij het klassieke denken over de zwaartekracht overboord heeft gegooid en op een revolutionaire nieuwe manier is gaan nadenken over die gravitatiekracht?

In zijn relativiteitstheorie is hij er niet voor teruggeschrikt om de klassieke denkwijze over zwaartekracht en de door iedereen aanvaarde zwaartekrachttheorie van Newton volledig te ontmantelen en in plaats daarvan een compleet andere manier van denken voor te stellen.

Zeker, de wiskundige benadering van de algemene relativiteitstheorie behoort ongetwijfeld tot de moeilijkste theorieën die er zijn. Maar achter die technisch moeilijke wiskundige benadering stelt men vast dat Einstein zijn theorie heeft gebouwd op een zeer eenvoudig concept van het heelal. Wanneer men alle wiskunde weglaat, dan blijkt - hoe wonderlijk dit ook moge klinken - de conceptuele benadering van Einsteins algemene relativiteitstheorie voor iedereen toegankelijk te worden.

Daarom gaan we in dit artikel op pad zonder formules of wiskunde, we volgen de gedachtegang van Einstein en maken zo kennis met die algemene relativiteitstheorie die ons wereldbeeld volledig veranderde.

 

Over de 'geheimzinnige' zwaartekracht van Newton

Isaac Newton (1643-1727) publiceerde in 1678 een uiterst belangrijk boek, de Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, kortweg ook wel de Principia genoemd. Het is een monumentaal werk, één van de meest invloedrijke boeken ooit over fysica geschreven. In dit boek gaat Newton in op de meest gekende universele kracht in de natuur, met name de zwaartekracht. Hij beschrijft hoe massa's tot elkaar worden aangetrokken. Zo wordt een appel aangetrokken door de Aarde, wordt de Maan door de Aarde aangetrokken of wordt de Aarde aangetrokken door de Zon.

De Principia was zo allesomvattend dat men er tot ver in de 19de eeuw nog steeds van overtuigd was dat men met Newtons theorie in staat was om alle fysische fenomenen in de natuur te verklaren. Het geloof in de theorie van Newton was zo groot dat bepaalde universiteitsprofessoren hun studenten zelfs afraadden om aan de universiteit nog fysica te gaan studeren omdat men ervan overtuigd was dat … "alles wat in de fysica moet worden uitgevonden reeds was uitgevonden door Newton".  

 

Einstein ontmantelt de klassieke fysica van Newton

Niettegenstaande het succes had Einstein het toch moeilijk met Newtons visie op de zwaartekracht. Hij vroeg zich af wat die kracht tussen twee voorwerpen eigenlijk was. Niemand had daar ooit een antwoord op gegeven. Men wist hoe de zwaartekracht in de natuur werkte, maar niet wat de zwaartekracht in essentie was. Einstein kon evenmin aannemen dat die kracht zich ogenblikkelijk voortplantte. Volgens Einstein was de lichtsnelheid (300.000 km/s) een absolute limiet die niet kon overschreden worden.

Om Einstein te begrijpen is het van belang om hier even stil te staan bij zijn persoonlijkheid.

Einstein is zijn leven lang een intellectuele eenzaat geweest, iemand die liefst heel alleen nadacht over allerlei problemen die hij zich stelde. Volgens zijn vrouw Elsa was Einstein het productiefst als hij alleen was met een potlood en een blad papier voor zich. Hij voerde dan in gedachten vaak ingebeelde experimenten uit. 

Dit was ook het geval met zijn vragen over de zwaartekracht. Om de zwaartekracht echt te begrijpen voerde hij gedachte-experimenten uit. Zo vroeg hij zich af wat er zou gebeuren met iemand die zich met een appel in zijn hand in een lift bevindt waarvan, op een bepaald ogenblik, de kabel zou doorgeknipt worden. Mocht men de appel loslaten, dan zou die, net als de persoon in de lift, vrij beginnen zweven. Er is in die lift dus geen zwaartekracht meer. In de vrij vallende lift is de situatie dus net dezelfde als in een lift die zich ergens ver weg in het heelal zou bevinden, op een plaats waar zich geen enkele ster of enig ander voorwerp bevindt. Ook daar is geen zwaartekracht voelbaar.

En, denkt Einstein verder, mocht men nu in die lift, die zich ver weg in de ruimte bevindt, een motor aansteken die zich onderaan de lift bevindt, dan zou men in die lift opnieuw een versnelling voelen, net als in een gewone situatie op Aarde.

 

Equivalentie principe Einstein

Copyright: eigen afbeelding

 

Uit dit gedachte-experiment trekt Einstein nu de logische consequenties van zijn redenering door. Volgens hem bestaat er geen zwaartekracht zoals Newton het voorstelde. Einstein definieert de ruimte niet als een statisch iets, maar als iets dat voortdurend vervormd wordt door de massa die in die ruimte aanwezig is. Zo wordt de ruimte rond de Aarde vervormd door de aanwezigheid van de Aarde of wordt de ruimte rond de Zon vervormd door de aanwezigheid van de Zon. Ook de ruimte waar ik sta wordt, zij het onmerkbaar, vervormd door mijn aanwezigheid. In de ruimte is de zwaartekracht volgens Einstein gewoon de weg die door een massa gevolgd wordt in een vervormde ruimte.

Tot nu toe hadden we het in deze tekst enkel over de vervorming van de ruimte. Maar Einstein bewees dat ruimte en tijd niet als afzonderlijke entiteiten kunnen beschouwd worden. Ruimte en tijd zijn onlosmakelijk met elkaar verbonden tot één ruimtetijd. Een massa vervormt dus niet alleen de ruimte maar ook de tijd: het is de ruimtetijd die vervormd wordt.

 

De revolutionaire hypothese van Einstein

Als elke massa de vorm van de ruimtetijd beïnvloedt en als de vorm van de ruimtetijd een invloed heeft op elke massa, dan moeten volgens Einstein beide begrippen noodzakelijk nauw met elkaar verbonden zijn. Beide begrippen moeten dus, op een evenredigheidsfactor na, aan elkaar gelijk zijn:

Ruimte massa

Copyright: eigen afbeelding

 

Men kan dit samenvatten in een compacte formule:

 

                                G  =  4πg/c4. T                            (1)

 

waarin

- G de tensor van Einstein wordt genoemd en in elk punt de vorm van de ruimtetijd voorstelt.

- T de aanwezige hoeveelheid massa-energie voorstelt. Sinds Einsteins speciale relativiteitstheorie weet men immers ook dat energie kan herleid worden tot massa en vice versa. Massa en energie zijn voortaan equivalente begrippen: E = m.c2 .

- 4πg/c4 stelt de evenredigheidsfactor voor waarin g de gravitatieconstante en c de lichtsnelheid (300.000 km/s) voorstelt. Uit de evenredigheidsfactor kan men afleiden waarom in normale omstandigheden die kromming van de ruimte niet opgemerkt wordt. Immers g heeft, vergeleken met c4, een kleine waarde zodat die evenredigheidsfactor praktisch gelijk is aan nul. Dit zal zeker niet het geval zijn bij zeer grote waarden van g zoals dit het geval is bij zwarte gaten.

Bovengenoemde vergelijking (1) vat, zonder vast te lopen in complexe wiskundige formuleringen, de zwaartekrachtstheorie van Einstein samen. Ze is de kern van de algemene relativiteitstheorie. Het is ongetwijfeld ook de mooiste en belangrijkste formule van de 20ste eeuw.

 

Concrete uitwerking van Einsteins algemene formule

Vergelijking (1) hierboven kan dan wel een volledige en correcte vorm zijn van Einsteins relativiteitstheorie, toch is een meer concrete mathematische uitwerking ervan nodig wil men ze in de praktijk toepassen. Helaas is het wiskundig instrumentarium dat hiervoor nodig is zeer complex. Einsteins conceptuele visie van de ruimtetijd kan dan eenvoudig zijn, de gedetailleerde wiskundige formulering ervan blijft een aartsmoeilijke opgave.

Op school leerden we werken met de meetkunde van Pythagoras. Maar die meetkunde is enkel toepasselijk in een vlakke ruimte en de bijhorende berekeningen zijn in dit geval eenvoudig. Denk maar aan de klassieke stelling van Pythagoras over de rechthoekige driehoek, waarbij de lengte van de schuine zijde kan berekend worden indien men de lengte van de twee rechthoekszijden kent:   

                             (ds)2  =  (dx)2  +  (dy)2                               (2)

In een vlakke ruimte blijft de lengte (ds) ongewijzigd wanneer men het referentiestelsel O in die ruimte verplaatst:

Pythagoras driehoek verplaatst

Copyright: eigen afbeelding

 

 

De meetkunde die moet gebruikt worden in een gekromde ruimte is evenwel veel complexer.

Men kan het vergelijken met het volgende voorbeeld. Denk even dat de figuur hieronder een berglandschap voorstelt en dat men zich van A naar B moet begeven.

Berglandschap

Copyright: eigen afbeelding

 

Het is overduidelijk dat men in dit geval de afstand tussen A en B niet kan berekenen met de gewone stelling van Pythagoras. Om van A naar B te gaan moet men immers een weg volgen over twee bergen (tenzij er een tunnel zou bestaan van A naar B). De stelling van Pythagoras moet veralgemeend worden, en naarmate het berglandschap er gevarieerder uitziet zal ook de formule van Pythagoras complexer zijn.          

Men kan bewijzen dat de meer algemene formule van Pythagoras er in een tweedimensionale ruimte als volgt zal uitzien:

 

                           ds2  =  gxx.dx.dx + gxy.dx.dy + gyx.dy.dx + gyy.dy.dy                 (3)

 

De vier coëfficiënten gxx , gxy , gyx en gyy zijn waarden die in elk punt (x,y) van de ruimte de kromming van die ruimte weergeven. Die waarden worden de metrische tensor genoemd. In een vlakke ruimte zijn  gxx en gyy gelijk aan 1 en gxy en gyx  gelijk aan 0, en zo valt men terug op de klassieke formule van Pythagoras (2).

In de werkelijkheid beschrijft de relativiteitstheorie niet een tweedimensionale vlakte, maar een ruimtetijd met vier dimensies. Als men met behulp van de metrische tensor de vergelijking (1) concreet wil neerschrijven bekomt men de algemene vergelijking van Einstein die in een vier dimensionale ruimte een willekeurige gekromde ruimte kan beschrijven:

 

                          Rμν - ½ R.gμν + Λ gμν = 8πg/c4 . Tμν                                       (4)

 

Deze vergelijking is dus niets anders dan de concrete invulling van de vergelijking (1) hierboven. Ze is, helaas, dermate complex dat het vinden van een algemene oplossing ervoor een quasi onmogelijke opdracht is. Einstein zelf heeft ten andere op zijn denk-odyssee regelmatig een beroep moeten doen op de hulp van een vriend wiskundige Marcel Grossmann (1878-1936). 

 

Concrete toepassingen

Al is een oplossing vinden voor de algemene vergelijking (4) een quasi onmogelijke opdracht, toch kan deze vergelijking in bepaalde omstandigheden in belangrijke mate vereenvoudigd worden. Twee voorbeelden.

In de jaren 1920 veronderstelde Alexandr Friedmann ( 1888-1926) een heelal dat op grote schaal homogeen is. In dit geval wordt de moeilijke vergelijking van Einstein (4) een stuk eenvoudiger. Onafhankelijk van Friedmann kwam in dezelfde periode ook Georges Lemaître (1894-1966) tot eenzelfde conclusie. Dit was voor Lemaître het startpunt van zijn theorie over het uitdijend heelal en zijn oerknaltheorie zoals wij die vandaag kennen. Misschien interessant om te vermelden dat Einstein het in het begin niet eens was met dit resultaat. Hij had het dus moeilijk met de conclusies van zijn eigen theorie...

De metriek van Einsteins vergelijking wordt ook een stuk eenvoudiger wanneer men in het heelal een sferische symmetrie veronderstelt. In dit geval vond Karl Schwarzschild (1873-1916) in 1915 een aangepaste metriek voor de vergelijking van Einstein, waarmee het mogelijk wordt zwarte gaten te bestuderen. Dankzij die metriek kan men de straal van Schwarzschild berekenen, de uiterste limiet waarbinnen een voorwerp onmogelijk nog aan de gravitatie kan ontsnappen.

 

Schwarzschild radius

 

Copyright: Wikimedia Commons - Sandstorm.de

 

Tekst: Emile Beyens, juli 2022